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黄金分割与分形几何


一、无所不在的黄金分割


   
黄金分割是我们在初中学习平面几何的时候就接触到的知识。设线段AB 长度为1,在上面取一点C 使得AC/BC = AB/AC ,C点被称为线段AB的“黄金分割”点。
设AC 部分长为X,则x/(1-x)=1/x,即x^2+x-1 =0 。解这个方程得:

   
    x=(-1±√5)/2。因为X>0,所以x=(-1+√5)/2≈0.618,
1/x=(1+√5)/2≈1.618

    这两个数就是自然界普遍存在的“黄金分割”数。

《达芬奇密码》中反复提到的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34……,其特点为数列中每一项为前两项之和,即

    A(n+1)=A(n)+A(n-1),n≥2

   
这个数列广泛存在于自然界中。
树枝上的分枝数,大多数花的花瓣都是斐波那契数列中的数:例如百合为3,梅花5,桔梗常为8,金盞花13…等等,玫瑰更是按着斐波那契数列由内而外排列。斐波那契数列也出現在松果上。如上图右,一片片的鳞片在整粒松果上顺著两组螺旋线排列:一组呈顺时针螺旋,另一组为逆时针螺旋,顺时针螺旋的排列数目是8,而逆时针螺旋方向则为13。向日葵也是一样(上图左),常见的螺旋线数目为34及55,较大的向日葵的螺旋线数目为89 及144,更大的甚至还有144 及233,這些全都是斐波那契数列中相邻两项的数值。

那么斐波那契数列和黄金分割有什么联系呢?用数列中任意一项比上前一项,1/1 = 1,2/1 = 2,3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666……, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 =1.61538……我们发现项数越大,这个比值越接近黄金数1.618。


   
除了植物世界外,在动物世界甚至我们人体本身中,黄金分割更是不断地出现。从外观上看大多出现在动物的形体中。
人四肢后肢与前肢的比,身高与肚脐到腿之间距离的比,甚至手指每一节骨头与后面一节骨头的比,都接近黄金数1.618。芭蕾舞演员颠起脚尖跳舞,就是为了让身体的比例更接近黄金分割。小说中提到的达?芬奇作品《维特鲁维人》,就是他严格按照人体的黄金分割比例绘制成的。


黄金分割在自然界和人体中如此广泛地存在,因此成为人类潜意识中的审美标准,成为了人类艺术的宠儿。绘画和照片中如果把主要景物放在黄金分割位置,将给人一种最美的视觉感受。从古至今许多建筑有遵循着黄金分割的规律,包括金字塔的斜面三角形高与底面半边长之比,雅典神庙和巴黎圣母院的外观,甚至像东方明珠一样许许多多电视塔的观光层位置,都利用黄金分割比给人以美的享受。

    黄金分割有一种几何上的自相似性,部分与部分的比等于部分与整体的比,等于整体与更大整体的比……20 世纪70年代,数学家曼德勃罗(Benoit Mandelbrot)提出了“分形”的概念,用来描述自相似性,并首先引入了“分数维”的概念。

二、分形几何学

分形概念最早出现于Mandelbrot 对海岸线测量问题的研究中。

对于谋国家海岸线这种不规则图形,如果选取的测量尺度不一样,测量结果将相差甚远。当选择测量尺度很大时,细小的地方没有测量,得到的值会比较小。而用小尺度测量,得到的结果会大得多。用的尺度越小,得到的值将越大。也就是说,现实中这种复杂的不规则边界的图形,没有准确的周长。随着测量尺度的减小它的周长将趋于无穷。如果这种不规则边界呈现出一种小尺度和大尺度相似的特征,并且无限细分下去都存在这种自相似性,我们称这种几何形状为“分形”。

    Koch 曲线就是在一个等边三角形一条边上截取中间1/3边长,生成新的等边三角形,然后一直一层一层无限生成下去。

   
定量描述分形结构,需要引入“分数维”这个超越人类整数维思维的概念。我们知道,线的维度是一维,平面维度为二维,立体为三维,物理学中最有希望统一所有基本粒子及其相互作用的理论——超弦理论需要在更高维度的空间中建立,我们暂且不去讨论它。

    就维度性质而言,1 维相对于2 维来说,是在一个维度上与其相同,在另一个维度上值为无限小,。因此在2维平面内无限区域一条无限长的直线,他的维度是1。同理如果2维平面内一个有限区域内一条线的维度为1,它必须是一个有限长的线段,这样才能保证它另一个维度值为无限小。那么如果一条无线长的线束缚在平面上一个有限的区域内,另一个维度的值不再是无限小,它的维度将大于1,但是这条无线长的线并没有填满一个平面,因此它的维度也小于2,一维分形就是这样一个束缚在有限平面区域内无限长的线,它的维度是介于1和2 之间的分数维度。

   
分形维度计算法则:倍形法
这是计算分形维数一个最简单有效的方法,读者可以利用它来计算相对简单规则的分形维数。另S为分形的一个层次结构单元边长,ε为上一层次分形结构长度和S 的比值,若令上一层次边长为单位长度1,则ε=1/s,N(ε)为层次分形结构内包含边长S层次结构单元的数目,那么分形维度的计算公式为:D=ln(N(ε))/ln(ε)  称为豪道夫数


   
三, “黄金分割”的分形解密

    科学家们经过广泛计算,发现自然界的一维分形维度大多集中在1.6—1.7 附近,这让人很自然想起神秘的黄金分割率“1.618”。理论上讲,一维分形分数维度可以有无穷多个取值,但自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的这些取值,这跟黄金分割本身又有什么内在联系呢?


黄金分割实际上是一种特殊的自相似结构,如果把一条线段AB 连接上它的黄金分割线段BC=0.618…×AB 排列,BC再连接CD=0.618…×BC,无限下去,用等比数列求和公式很容易证明,线段的总长度为AB乘上黄金分数,即1.618…×AB。黄金分割充分体现了部分和整体“依次排列”的自相似性。

    这种长边与短边比值是黄金数1.618…的矩形称为黄金矩形,是黄金分割自相似性最好的体现。矩形内截取掉一个正方形,剩下的小矩形仍然为黄金矩形。依次无限截取下去,会获得邻近边长比为黄金数,并且依次呈螺旋形排列的自相似正方形。如果将这些正方形内的1/4圆弧连接起来,会构成一个平滑的自相似螺旋,即黄金螺旋。

   
黄金螺旋便是一个典型的一维分形,我们大致计算一下它的分形维度。用上节提到的取格法,将黄金矩形分成8×8=64个小的黄金矩形。一般情况下自然界的黄金螺旋有一定粗细,上面有更细微的分形结构,基本能占满它所经过的小格,因此将包含黄金螺旋和与之相切的方格都纳入其中,数得,N(ε)=29,因此有一定粗细的黄金螺旋分形维度为

    ln 29/ln8=1.619327....,很接近黄金数1.618。
生物界中螺旋形状大多为近似的黄金螺旋——如海螺壳,海马的尾巴,植物叶子,花和果实表面排列等等。

                          
   
通过研究海螺发现,用一条直线穿过它的螺旋中心,这条直线上它的螺旋相邻圈粗细比值很接近黄金分割,那么为什么自然界中的螺旋倾向于选择黄金螺旋呢?我们从图10的黄金矩形出发,将黄金矩形每一个小矩形沿对角线向外移动1/2个边长,依次类推,如图12,这些黄金矩形会围成一个基本填满平面区域的螺旋,可证明,任何其他矩形以这种方式自相似排列,都会重叠或者在平面上留下很大缝隙。只有黄金矩形会趋向于排满平面。

    黄金矩形的排列可看成黄金螺旋的离散化,如果将其收缩边缘连续起来,就会出现海螺的那种布满整个平面区域的黄金螺旋。也就是说,只有黄金螺旋这种“依次排列”的自相似才会占满平面区域。伸出自己的左手与纸面垂直,然后握拳,看一下你的食指围成的螺旋是不是和图12很像?人体众多骨骼之所以被各个关节黄金分割,正是由于这些骨骼能够围成这种螺旋形状。
人体处于黄金分割的关节都是能够蜷缩的位置,如手指骨节,肘部,膝盖,颈部,腰腹等等(身体蜷缩时候,蜷缩点位于人体黄金分割——肚脐处),许多哺乳动物关节都具有这种特点,这都是生物经过几十亿年进化的结果,能让身体和四肢完全地蜷缩来抓住东西和自我保护,因此生物界选择了这种没有缝隙的蜷缩——黄金螺旋。


将一个圆周进行黄金分割,它的短弧所对应的角度成为“黄金角”,即360×(1-0.618…)≈137.5°    将黄金螺旋上取距离相等的一系列点,发现点于点连线之间的夹角(发散角)都为黄金角。计算机模拟结果可看出,发散角为137.4°和137.6°的螺旋都无法填满平面,而恰好发散角为137.5°的黄金螺旋可以填满平面,做到点于点之间距离相等。向日葵和菊花都满足这样的排布,这样可以使单位面积内花瓣或种子排列数目最多。

    除了黄金螺旋之外,生物界其他的分形大多遵循黄金分割原则,其分形维数也很接近黄金数1.618…
如树的生长。按照黄金分割比例生长树枝和树叶,会使单位面积接收到最多的阳光,其原理与黄金螺旋相似,即能够布满平面的分形结构。

从上面几个例子的分析可以看出,“黄金分割”这种分形是生物进化的一个“极值”,是生物界自然选择的结果。目前的研究发现,不仅仅是生物界,在自然界很多领域都存在这种自相似倍数为黄金数的分形,诸如一些准晶体结构,高分子,太阳系间行星距离,海浪漩涡等等,都是黄金螺旋分形。


分形大多以黄金分割为原则这是自然界的重要现象。

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